OPERASI BINER, SEMI GROUP, GROUP

Operasi Biner, SemiGroup, Group

I.           Operasi Biner

Definisi : f: A x A à A

1.    Domain (f) = A x A ,

-          f menentukan sebuah elemen f(a,b) dari A ke pasangan (a,b) terurut  dari elemen-elemen A.

-          Operasi biner harus didefinisikan untuk masing-masing pasangan terurut dari elemen A.

2.    Operasi biner mrp fungsi , hanya satu elemen A yang disebutkan pada masing-masing pasangan terurut (a,b)           

Operasi biner ditunjukkan dengan symbol *.  Contoh bila a dan b elemen di dalam A maka a*b € A à A closed dengan operasi *.

Tabel

Bila A={a₁ , a₂ , … , a_n } mrp himpunan terbatas, operasi biner dari A dapat disajikan dalam table dengan i, j menunjukkan elemen a_i * a_j .

*	a1     a2     . . .  aj   . . .  an
a1 a2 . ai . an	ai * aj

Sifat Operasi Biner

-      Komutatif à a * b = b * a

-      Operasi biner yang digambarkan dengan table dikatakan komutatif jika dan hanya jika isi table simetris thd diagonal utama.

-      Asosiatif à a*(b*c) = (a*b)*c

II.        SemiGroup

Adalah himpunan tidak kosong S dengan sebuah operasi biner asosiatif yang ditetapkan dalam S. Dinotasikan sebagai (S,*) atau bila jelas operasi binernya cukup ditulis S.

-                              (S,*) dikatakan komutatif bila * adalah operasi komutatif

Teorema 1:

Jika a₁ , a₂ ,  … a_n  (n>=3) adalah elemen yang berbeda pada semigroup, maka semua perkalian dari elemen a₁ , a₂ , …, a_n  yang dapat dibentuk dgn memasukkan tanda kurung yang berbeda (letaknya) adalah sama.

Contoh : ((a₁*a₂)*a₃)*a₄     a₁*(a₂*(a₃*a₄))       (a₁*(a₂*a₃))*a₄       

adalah sama.

Teorema 2 :

Semigroup (S,*) unik bila mempunyai elemen identity e. Semigroup yang memiliki identity disebut monoid.

Contoh : P(S) dengan S suatu himpunan dengan operasi gabungan adalah semigroup yang komutatif mempunyai identity φ karena

Φ * A = φ U  A = A U φ = A * φ

Untuk setiap elemen A.  Di sini berarti P(S) monoid.

Isomorfisme dan Homomorfisme

f : S à T disebut isomorfisme dari semigroup (S,*) ke (T,*’) bila menunjukkan hubungan korespondensi satu-satu dari S ke T.

Contoh : T adalah himpunan semua bilangan bulat genap Tunjukkan bahwa (Z,+) dan (T,+) adalah isomorfis.

Solusi :

1.    f: Z à T dengan f(a) = 2a

2.    tunjukkan f berkoresponden satu-satu

f(a₁ )= f(a₂ ) lalu 2a₁ = 2a₂  shg a₁ = a₂

3.    tunjukkan f onto, misalkan b sembarang bilangan bulat genap dan a= b/2 dan  f(a) =f(b/2) = 2(b/2) =b    f à onto

4.    f(a+b) = 2(a+b)

= 2a+2b = f(a) + f(b)

Sehingga (Z,+) dan (T,+) adalah isomorfis.

Teorema 3

Misal (S,*) dan (T,*) adalah monoid dengan identity e dan e’ maka f:SàT adalah isomorfis dan f(e) = e’.

Teorema 4

Misal (S,*) dan (T,*) adalah monoid dengan identity e dan e’, maka f:SàT adalah homomorfis dari (S,*) onto (T,*’) dan f(e) = e’.

Teorema 5

Misal f adalah homomorfis dari sebuah semigroup (S,*) ke (T,*’). Jika S’ adalah subsemigroup dari (S,*) maka

F(S’)= {t € T|t= f(s) untuk beberapa s € S’}

Teorema 6

Jika f homomorfis dari semigroup komutatif (S,*) onto (T,*’), maka (T,*’) juga komutatif.

Perkalian dan Pembagian Semigroup

Teorema 1

Jika (S,*) dan (T,*’) adalah semigroup maka (SxT, *’’) adalah semigroup dengan *’’ ditunjukkan  (s₁ , t₁) *’’ (s₂ , t₂) = (s₁ * s₂, t₁ *’ t₂)

Teorema 2

Misal R adalah hubungan kongruen semigroup (S, *). Maka

(a)  O adalah fungsi dari S/R x S/R ke S/R dan biasa penulisan O ([a],[b]) diganti dgn [a]O[b]. Maka [a]O[b] = [a * b]

(b)  (S/R, O) adalah semigroup

Teorema 3

Misal R adalah hubungan kongruen semigroup (S,*) dan (S/R,O) adalah semigroup persamaan korespondensi. Maka f_R : S à S/R yang didefinisikan sbg f_R (a) = [a] adalah homomorfisme onto disebut homomorfisme alami (natural).

Teorema 4 (Teorema Homomorfisme Fundamental)

Misal f:Sà T adalah homomorfisme semigroup (S,*) onto (T,*’). Misal R adalah relasi pada S a R b jika dan hanya jika f(a) = f(b) utnuk a dab b dalam S. Maka

(a)  R adalah relasi kongruen

(b)  (T,*’) dan semigroup persaamaan (S/R,O) adalah isomorfis.

III.     Group

Aplikasi group dapat ditemukan pada matematika, fisika, kimia, bahkan ilmu noneksak seperti sosiologi.

Group adalah monoid edngan identity e yang mempunyai sifat tambahan yaitu utnuk setiap elemen a є G di sana terdapat sebuah elemen a’ є G sehingga a * a’ = a’ * a = e.  

a’ disebut inverse dari a.

Penulisan a * b dalam group disederhanakan menjadi ab bila jelas hanya ada satu G.

Teorema 1

G sebuah group. Setiap elemen a dalam G hanya mempunyai satu invers dalam G.

Teorema 2

Misal G sebuah group dan a, b, c adalah elemen G maka

(a)  ab = ac menunjukkan b = c (sifat hapus kiri)

(b)  ba = ca menunjukkan b = c (sifat hapus kanan)

Teorema 3

G sebuah group, a dan b elemen G. Maka

(a) (a^-1 )^-1 = a

(b) (ab)^-1 = b^-1 a^-1

Teorema 4

G sebuah group, a dan b elemen G. Maka

(a) persamaan av=b mempunyai sebuah solusi unik dalam G.

(b) persamaan va=b mempunyai sebuah solusi unik dalam G.

Teorema 5

Misal (G,*) dan (G’,*’) adalah dua group, misal f:GàG’  adalah homomorfis dari G ke G’ maka

(a)  jika e identity dari G dan e’ identity dari G’ maka f(e)=e’

(b)  jika a є G, maka f(a^-1 ) = (f(a))^-1

(c)  jika H adalah subgroup dari G maka f(H) = {f(h)|h є H} adalah subgroup dari G’

Perkalian dan Pembagian Group

Teorema 1

Jika G dan G adalah group, maka G = G x G adalah sebuah group dengan operasi yang ditentukan sbg

(a₁, b₁)(a₂, b₂) =(a₁a₂, b₁b₂)

Teorema 2

Misal R adalah hubungan kongruen dalam group (G,*). Maka semigroup (G/R, О) adalah sebuah group di mana operasi O dalam G/R ditentukan oleh [a] O [ b] = [a * b]

Teorema 3

Misal R adalah hubungan konruen dalam group G dan H = [e], kelas ekivalen berisi identity. Maka H adalah subgroup normal dari G dan setiap a є G, [a] = aH = Ha

Teorema 4

Misal N adalah subgroup normal dari group G dan R memiliki hubungan dengan G sbb.  

a R b jika dan hanya jika a^-1 b є N

Maka

(a)  R adalah sebuah hubungan kongruen pada G

(b)  N adalah kelas ekivalen [e] relative thd R dengan e identity pada G.